پاسخ سوال 8 تمرین صفحه 140 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۱۳۹ حسابان یازدهم سلام! برای حل این حدها، ابتدا حدود توابع اصلی ($f$ و $g$) را در نقاط مورد نظر از روی نمودار می‌خوانیم و سپس از **قوانین حد** استفاده می‌کنیم. 🧠 --- ### ۱. $\lim_{x \to ۲} (۲g(x) - f(x))$ **الف) خواندن حدود در $x=۲$**: * **حد $g(x)$**: نمودار $g$ در $x=۲$ پیوسته است. $\mathbf{\lim_{x \to ۲} g(x) = g(۲) = ۳}$. * **حد $f(x)$**: نمودار $f$ در $x=۲$ پیوسته است. $\mathbf{\lim_{x \to ۲} f(x) = f(۲) = ۰}$. **ب) محاسبه حد تفریق**: $$\lim_{x \to ۲} (۲g(x) - f(x)) = ۲ \lim_{x \to ۲} g(x) - \lim_{x \to ۲} f(x) = ۲(۳) - ۰ = \mathbf{۶}$$ --- ### ۲. $\lim_{x \to ۰} \frac{g(x)}{f(x)}$ **الف) خواندن حدود در $x=۰$**: * **حد $g(x)$**: نمودار $g$ در $x=۰$ پیوسته است. $\mathbf{\lim_{x \to ۰} g(x) = g(۰) = ۱}$. * **حد $f(x)$**: نمودار $f$ در $x=۰$ پیوسته است. $\mathbf{\lim_{x \to ۰} f(x) = f(۰) = -۱}$. **ب) محاسبه حد تقسیم**: $$\lim_{x \to ۰} \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{\lim_{x \to ۰} g(x)}{\lim_{x \to ۰} f(x)} = \frac{۱}{-۱} = \mathbf{-۱}$$ --- ### ۳. $\lim_{x \to -۳} (۳ - \sqrt{g(x)})$ **الف) خواندن حدود در $x=-۳$**: * **حد $g(x)$**: نمودار $g$ در $x=-۳$ دارای حفره است ($\lim_{x \to -۳} g(x) = ۲$). $\mathbf{\lim_{x \to -۳} g(x) = ۲}$. **ب) محاسبه حد رادیکالی**: $$\lim_{x \to -۳} (۳ - \sqrt{g(x)}) = \lim_{x \to -۳} ۳ - \sqrt{\lim_{x \to -۳} g(x)} = ۳ - \sqrt{۲}$$ $$\mathbf{۳ - \sqrt{۲}}$$ --- ### ۴. $\lim_{x \to -۲} \sqrt{x \cdot g(x)}$ **الف) خواندن حدود در $x=-۲$**: * **حد $x$**: $\mathbf{\lim_{x \to -۲} x = -۲}$. * **حد $g(x)$**: نمودار $g$ در $x=-۲$ پیوسته است. $\mathbf{\lim_{x \to -۲} g(x) = g(-۲) = ۲}$. **ب) محاسبه حد رادیکالی**: $$\lim_{x \to -۲} \sqrt{x \cdot g(x)} = \sqrt{\lim_{x \to -۲} (x \cdot g(x))} = \sqrt{(\lim_{x \to -۲} x) \cdot (\lim_{x \to -۲} g(x))}$$ $$\lim_{x \to -۲} \sqrt{x \cdot g(x)} = \sqrt{(-۲) \cdot (۲)} = \sqrt{-۴}$$ **نتیجه**: چون حد زیر رادیکال **منفی** است، حد در مجموعه اعداد حقیقی **وجود ندارد**. $$\mathbf{وجود \text{ندارد}$$